Phương pháp giải:

+) Kẹp khoảng giá trị của \({a_4}\). Xét từng trường hợp của \({a_4}\).

+) Trong từng trường hợp của \({a_4}\), sử dụng quy tắc nhân tìm số thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\), số thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) không có mặt chữ số 2 rồi trừ đi tìm số thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) luôn có mặt chữ số 2.

+) Áp dụng quy tắc cộng tính số phần tử của biến cố “Số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) luôn có mặt chữ số 2”.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu.

+) Tính xác suất của biến cố.

Lời giải chi tiết:

Do \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) và các chữ số là khác nhau nên \(6 \le {a_4} \le 9\).

Do \({a_1} \ne 0 \Rightarrow 0 < {a_1} < {a_2} < {a_3}\).

TH1: \({a_4} = 6 \Rightarrow {a_1},{a_2},{a_3},{a_5},{a_6},{a_7} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)

Chọn 3 số trong 6 số trên cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_5^3\) cách chọn (không chọn số 0).

3 số còn lại có 1 cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_5^3 = 10\) số. 10 số này thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH2: \({a_4} = 7 \Rightarrow {a_1},{a_2},{a_3},{a_5},{a_6},{a_7} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Chọn 3 số trong 7 (không chọn số 0) số trên cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_6^3\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_4^3\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^3C_4^3 = 80\) số. 80 số này có thể có hoặc không có mặt chữ số 2.

+) Chọn 3 số trong 7 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_5^3\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_3^3 = 1\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_5^3 = 10\) số. 10 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH2 có 70 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH3: \({a_4} = 8 \Rightarrow {a_1},{a_2},{a_3},{a_5},{a_6},{a_7} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).

Chọn 3 số trong 8 số trên (không chọn số 0) cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_7^3\) cách chọn.

         3 số còn lại có \(C_5^3\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_7^3C_5^3 = 350\) số. 350 số này có thể có hoặc không có mặt chữ số 2.

+) Chọn 3 số trong 8 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_6^3\) cách chọn.

             3 số còn lại có \(C_4^3 = 4\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_6^3.C_4^3 = 80\) số. 80 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH3 có 350 – 80 = 270 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH4: \({a_4} = 9 \Rightarrow {a_1},{a_2},{a_3},{a_5},{a_6},{a_7} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Chọn 3 số trong 9 số trên (không chọn số 0) cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_8^3\) cách chọn.

         3 số còn lại có \(C_6^3\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_8^3C_6^3 = 1120\) số.

+) Chọn 3 số trong 9 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({a_1}{a_2}{a_3}\) có \(C_7^3\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_5^3\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(C_7^3.C_5^3 = 350\) số. 350 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH4 có 1120 – 350 = 770 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

Gọi A là biến cố: “Số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) luôn có mặt chữ số 2”.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10 + 70 + 270 + 770 = 1120\) cách.

\(n\left( \Omega  \right) = 9.9.8.7.6.5.4 = 544320\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{1120}}{{544320}} = \dfrac{1}{{486}}\).

Chọn B.