Phương pháp giải:

+) Đặt \(OA = x\) \(\left( {x > 0} \right)\). Tính \(AB\) và \(AD\) theo \(x\).

+) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm \(a,\,\,b:\,\,ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OA = x \Rightarrow AB = 2x\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có:

\(AD = \sqrt {O{D^2} - O{A^2}}  = \sqrt {100 - {x^2}} \)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.AD = 2x.\sqrt {100 - {x^2}}  \le {x^2} + 100 - {x^2} = 100\)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) là \(100c{m^2}\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 100 - {x^2} \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)\).

Chọn B.