Lời giải chi tiết:

\(\Delta OAB\) đều \( \Rightarrow AB = OA = OB = a\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OBC\) ta có: \(BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAC\) ta có

\(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2} - 2OA.OC.\cos {{120}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2{a^2}.\frac{{ - 1}}{2}}  = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác \(ABC\) ta có: \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.

Gọi H là trung điểm của \(AC \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Mà \(OA = OB = OC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH\) là trục của tam giác \(ABC\).

Gọi M là trung điểm của SB, trong \(\left( {SBH} \right)\) kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt OH tại I.

Ta có \(I \in OH \Rightarrow IA = IB = IC\).

Lại có \(IS = IB \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).

Ta có: \(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}}  = \frac{a}{2}\).

\(\begin{array}{l}BH = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow OB = \sqrt {O{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}}  = a \Rightarrow BM = \frac{1}{4}OB = \frac{a}{4};\,\,OM = \frac{{3a}}{4}\\\Delta OBH \sim \Delta OIM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{BH}}{{IM}} = \frac{{OH}}{{OM}} \Rightarrow IM = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3a}}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow IB = \sqrt {I{M^2} + B{M^2}}  = \sqrt {\frac{{27{a^2}}}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\end{array}\)

Chọn C.