Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\)

Với \(0 < x < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x > 0,\;\;\cos x > 0.\) 

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x.\cos x =  - \frac{3}{8}.\)

Áp dụng định lý Vi-ét đảo ta có hai số \(\sin x,\;\;\cos x\) là hai nghiệm của phương trình

\({X^2} - \frac{1}{2}X - \frac{3}{8} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\X = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 < \sin x < 1 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)  là nghiệm cần tìm.

Chọn D.