Câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^{2018}}{\left( {x - 2} \right)^{2019}}\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
- A Hàm số có ba điểm cực trị.
- B Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\)
- C Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) và đạt cực tiểu tại các điểm \(x \pm 2.\)
- D Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Phương pháp giải:
+) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)
+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\) bằng 0 tại hữu hạn điểm.
+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0,\) bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^{2018}}{\left( {x - 2} \right)^{2019}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Trong đó \(x = - 2,\;\;x = 2\) là hai nghiệm bội lẻ, \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn
\( \Rightarrow x = - 2;\;\;x = 2\) là hai điểm cực trị của hàm số, \(x = 1\) không là điểm cực trị.
\( \Rightarrow \) đáp án A sai.
Ta có: \(f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^{2018}}{\left( {x - 2} \right)^{2019}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 2} \right)^{2019}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),\) hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;\;2} \right).\)
Chọn B.