Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left[ {2;3} \right]\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{5}{2}\\\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y = 4\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y} \right)^2} + {\left( {\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y} \right)^2} = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + {4^2} = \dfrac{{89}}{4}\).

Chọn D.