Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,\;{B_1},\,\;{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,\;SB,\,\;SC\). Khi đó:  \(\frac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{S{A_1}}}{{SA}}.\frac{{S{B_1}}}{{SB}}.\frac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

+) Chia khối chóp đã cho thành các khối chóp nhỏ và tính thể tích của từng khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Từ K kẻ \(IK//AM\,\,\left( {I \in SB} \right),\,KJ//AC\,\,\left( {J \in SC} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \equiv \left( {IJK} \right)\) và  \(I,J\) lần lượt là trung điểm của SM, SC (do K là trung điểm của SA)

Trong (SAB), gọi N là giao điểm của IK và AB \( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\)

Trong (ABCD), kẻ đường thẳng qua N song song AC, cắt AD tại Q, CD tại P.

Khi đó, dễ dàng chứng minh P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD  và \(\left( {IJK} \right) \equiv \left( {IJPQK} \right)\)

*)  \(\frac{{{V_{S.IJK}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SK}}{{SA}}.\frac{{SI}}{{SB}}.\frac{{SJ}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {V_{S.IJK}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{32}}{V_{S.ABCD}}\)

*) Gọi L là trung điểm của SD.

Khi đó, khối đa diện SKJPQD được chia làm 2 khối: hình lăng trụ tam giác KJL.QPD và hình chóp tam giác S.KJL

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.ILK}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SK}}{{SA}}.\frac{{SL}}{{SD}}.\frac{{SJ}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.LJK}} = \frac{1}{8}{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}\\{V_{KJL.QPD}} = 3{V_{L.PQD}} = 3.\frac{1}{3}.{d_{\left( {L;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.{S_{PQD}} = 3.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{1}{4}{S_{ACD}} = \frac{3}{8}.\frac{1}{3}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{S_{ACD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ACD}} = \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_1} = {V_{S.IJK}} + {V_{S.LJK}} + {V_{KJL.QPD}} = \frac{1}{{32}}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} + \frac{3}{{16}}{V_{S.ABCD}} = \frac{9}{{32}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_2} = \frac{{23}}{{32}}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}.\end{array}\)

Chọn D.