Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đường thẳng \(y = 1\) để xác định tọa độ điểm \(A\) và \(B\). Sau đó tính  độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^3} - 4{x^2} + 5x - 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đường thẳng \(y = 1\) là:  \({x^3} - 4{x^2} + 5x - 1 = 1 \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {1;1} \right),\,\,B\left( {2;1} \right) \Rightarrow AB = 1\).

Chọn D.