Phương pháp giải:

Xác định góc giữa A'B và mặt phẳng đáy, từ đó tính chiều cao và thể tích khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết:

ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng \( \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right) \).

\(\Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;AB} \right) = \angle ABA' = {60^o}\).

\(\Delta A'AB\) vuông tại A, có \(\angle ABA' = {60^o}\):

\(AA' = AB.\tan {60^o} = a\sqrt 3 \).

\(\Delta ABC\) đều, cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\):

\(V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 3  = \frac{3}{4}{a^3}\).