Câu hỏi
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng đường kính đáy, hay đáy là các hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). Gọi \(A\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(B\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O';R} \right)\), khi đó thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) có giá trị lớn nhất là
- A \(\dfrac{{{R^3}}}{6}\)
- B \(\dfrac{{{R^3}}}{3}\)
- C \(\dfrac{{\sqrt 3 {R^3}}}{6}\)
- D \(\dfrac{{\sqrt 3 {R^3}}}{3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện khi biết góc và khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\,\,BC = b;\,\,d\left( {AD;BC} \right) = d;\,\,\widehat {\left( {AD;\,\,BC} \right)} = \alpha \). Khi đó\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}abd.\sin \alpha \)
Từ đó đánh giá \(\sin \alpha \le 1\) để tìm giá trị lớn nhất của \({V_{ABCD}}\)
Lời giải chi tiết:
Vì chiều cao hình trụ bằng đường kính đáy nên \(OO' = 2R\)
Ta thấy \(OO' \bot OA;\,OO' \bot O'B \Rightarrow d\left( {OA;O'B} \right) = OO' = 2R\)
Xét tứ diện \(OAO'B\) có \(OA = R;\,\,O'B = R;\,\,d\left( {OA;O'B} \right) = 2R\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(OA\) và \(O'B\). Khi đó ta có
\({V_{OAO'B}} = \dfrac{1}{6}OA.O'B.d\left( {OA;O'B} \right).\sin \alpha = \dfrac{1}{6}.R.R.2R.\sin \alpha = \dfrac{{{R^3}}}{3}\sin \alpha \le \dfrac{{{R^3}}}{3}\)
(vì \(\sin \alpha \le 1\) )
Nên \({V_{\max }} = \dfrac{{{R^3}}}{3}\) .
Chọn B.
Câu hỏi trước
