Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số và định nghĩa tiệm cận:

Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,f\left( x \right) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,f\left( x \right) = {y_0}\)

Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } \,f\left( x \right) =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } \,f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } \,f\left( x \right) =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } \,f\left( x \right) =  - \infty \)

Hoặc đối với hàm phân thức \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\)  ta có thể xác định tiệm cận đứng là \(x = {x_0}\) khi \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức \(B\left( x \right)\) nhưng \({x_0}\) không là nghiệm của tử thức \(A\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x }}{{f\left( x \right) + 3}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\f\left( x \right) \ne  - 3\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\dfrac{{\sqrt x }}{{f\left( x \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 3}} = 0\) nên \(y = 0\)  là TCN của đồ thị hàm số.

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy \(f\left( x \right) =  - 3\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2} \in \left( {1;3} \right)\) suy ra \({x_1};{x_2} \ne 0\) nên \(x = {x_1};x = {x_2}\)  là hai tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x }}{{f\left( x \right) + 3}}\) có ba đường tiệm cận.

Chọn D.