Phương pháp giải:

+) Xác định các đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\).

+) Gọi \(M\left( {m;\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\). Tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận.

+) Giải phương trình khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang tìm m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có TCĐ là \(x = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0\,\,\left( {{d_1}} \right)\) và TCN: \(y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi \(M\left( {m;\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có:

\(d\left( {M;{d_1}} \right) = \left| {m - 1} \right|;\,\,d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) = \left| {\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 1} \right|}}\)

Vì khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang nên

\(d\left( {M;{d_1}} \right) = 3d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \dfrac{9}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 \Rightarrow M\left( {4;3} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.