Phương pháp giải:

Tính \(y'\)

Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi: tứ giác có hai đường chéo giao giao tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi (hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi) để tìm điều kiện của \(m.\)

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm  của \(AB\) là \(I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\).

Chú ý rằng hàm trùng phương bậc bốn luôn có một cực trị nằm trên trục tung.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số có ba cực trị thì \(m \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m\\x = m \Rightarrow y =  - {m^4} + 2m\\x =  - m \Rightarrow y =  - {m^4} + 2m\end{array} \right.\)

Ta có các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2m} \right);B\left( {m; - {m^4} + 2m} \right);C\left( { - m; - {m^4} + 2m} \right)\)

Để \(OBAC\) là hình thoi thì \(OBAC\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Nhận thấy rằng \(O\left( {0;0} \right) \in Oy;\,A\left( {0;2m} \right) \in Oy;\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2m;0} \right) \Rightarrow BC//Ox \Rightarrow BC \bot Oy \Rightarrow BC \bot OA\)

Để \(OBAC\) là hình thoi thì ta cần có \(OBAC\) là hình bình hành hay \(OA\) và \(BC\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nghĩa là ta cho trung điểm của \(OA\) và \(BC\) trùng nhau.

Ta có trung điểm của \(OA\) là \(I\left( {0;m} \right)\) ; trung điểm của \(BC\) là \(K\left( {0; - {m^4} + 2m} \right)\)

Khi đó \(I \equiv K \Rightarrow  - {m^4} + 2m = m \Leftrightarrow {m^4} - m = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 1.\)

Chọn A.