Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton : \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({\left( {1 + x + 4{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {x + 4{x^2}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}{{\left( {1 + 4x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}\sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l{4^l}{x^l}} } \,\,\left( {0 \le l \le k \le 10} \right)\).

Để tìm các số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển trên ta tìm các cặp số \(\left( {k;l} \right)\) thỏa mãn\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le l \le k \le 10\\k + l = 4\end{array} \right.\).

Ta có bảng sau :

Do đó hệ số của \({x^4}\) trong khai triển trên là : \(C_{10}^2.C_2^2{.4^2} + C_{10}^3.C_3^1{.4^1} + C_{10}^4.C_4^0{.4^0} = 2370\).

Chọn C.