Phương pháp giải:

Để tìm hệ số của\({x^2}\) trong khai triển : \(\left( {1 + x} \right){\left( {1 + 2x} \right)^2}....{\left( {1 + nx} \right)^n},\) ta đồng nhất hệ số của \({x^2}\)

Tìm công thức tổng quát \({a_n}\) và giải bất phương trình: \({a_n} - {a_{n - 1}} > {3^{27}}\)  để tìm \(n.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \({b_n}\) là hệ số của x trong khai triển, có \({a_1} = 0,{b_1} = 1\) và

\(\begin{array}{l}... + {a_n}{x^2} + {b_n}x + 1 = \left( {1 + x} \right){\left( {1 + 2x} \right)^2}....{\left( {1 + nx} \right)^n}\\ = \left( {... + {a_{n - 1}}{x^2} + {b_{n - 1}}x + 1} \right){\left( {1 + nx} \right)^n}\\ = \left( {... + {a_{n - 1}}{x^2} + {b_{n - 1}}x + 1} \right)\left( {... + {n^2}C_n^2{x^2} + nC_n^1x + 1} \right)\\ = ... + \left[ {{a_{n - 1}} + {n^2}{b_{n - 1}} + \frac{{{n^3}(n - 1)}}{2}} \right]{x^2} + \left( {{b_{n - 1}} + {n^2}} \right)x + 1.\end{array}\)

 Vậy ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a_n} = {a_{n - 1}} + {n^2}{b_{n - 1}} + \frac{{{n^3}(n - 1)}}{2}\\{b_n} = {b_{n - 1}} + {n^2}\end{array} \right.\)

Có \({b_n} = {b_{n - 1}} + {n^2} = {b_{n - 2}} + {n^2} + {(n - 1)^2} = ..... = 1 + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.\)

Do đó \({a_n} - {a_{n - 1}} = {n^2}.\frac{{(n - 1)n(2n - 1)}}{6} + \frac{{{n^3}(n - 1)}}{2} = \frac{{{n^3}({n^2} - 1)}}{3}.\)

Vậy theo giả thiết có  \({a_n} - {a_{n - 1}} = \frac{1}{3}{n^3}({n^2} - 1) > {3^{27}} \Leftrightarrow 3\ln n + \ln ({n^2} - 1) > 28\ln 3 \Rightarrow n \ge 470.\)

Chọn B