Phương pháp giải:

Công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton:  \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Từ yêu cầu tính tổng \(S = 2C_{2017}^0 - 2C_{2017}^1 + 4C_{2017}^2 - 8C_{2017}^3 + .... + {2^{2016}}C_{2017}^{2016} - {2^{2017}}C_{2017}^{2017}\)

Tìm số hạng a với b cho phù hợp với biểu thức đề bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 2C_{2017}^0 - 2C_{2017}^1 + 4C_{2017}^2 - 8C_{2017}^3 + .... + {2^{2016}}C_{2017}^{2016} - {2^{2017}}C_{2017}^{2017}\\ \Rightarrow S = C_{2017}^0 + \left( {C_{2017}^0 - 2C_{2017}^1 + 4C_{2017}^2 - 8C_{2017}^3 + .... + {2^{2016}}C_{2017}^{2016} - {2^{2017}}C_{2017}^{2017}} \right).\end{array}\)

Xét khai triển: \({\left( {1 - x} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 - C_{2017}^1x + ... + {\left( { - 1} \right)^{2017}}C_{2017}^{2017}{x^{2017}}\)

Chọn \(x = 2\)  ta có: \({\left( {1 - 2} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 - C_{2017}^1.2 + ... + {\left( { - 1} \right)^{2017}}C_{2017}^{2017}{.2^{2017}} =  - 1.\)

\( \Rightarrow S = C_{2017}^0 + {\left( {1 - 2} \right)^{2017}} = 1 - 1 = 0.\)

Chọn C