Phương pháp giải:

+) Diện tích tam giác đều cạnh \(a:\;\;S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

+) Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \({S_d}\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}h.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\angle DAB = {60^0} \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow BD = a.\)

\( \Rightarrow {S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Kẻ \(SM \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OM.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right),\;\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OM,\;SM} \right) = \angle SMO = {60^0}.\)

Xét \(\Delta OMD\) vuông tại \(D\) ta có: \(\sin \angle ODM = \dfrac{{OM}}{{OD}} \Rightarrow OM = OD.\sin {60^0} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Xét \(\Delta SOM\) vuông tại \(M\) ta có: \(SO = OM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{4}.\)

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

Chọn A.