Phương pháp giải:

+ Xác định rằng không gian phía trong lều chính là thể tích hình lăng trụ.

+ Tính thể tích lều theo \(x\) .

+ Tìm \(x\) để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng cách sử dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) hoặc dùng hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi tên như hình vẽ với \(AH \bot BC \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{x}{2}\)

Xét tam giác \(AHB\)  vuông tại \(B,\) theo định lý \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{3^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}\,\,\left( {0 < x < 6} \right)\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{1}{2}AH.BC.AA' = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}.x.12 = 3x\sqrt {36 - {x^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) , ta có \(x\sqrt {36 - {x^2}}  \le \dfrac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} \Leftrightarrow x\sqrt {36 - {x^2}}  \le 18 \Leftrightarrow 3x\sqrt {36 - {x^2}}  \le 54\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \sqrt {36 - {x^2}}  \Leftrightarrow 2{x^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\sqrt 2 \,\left( {ktm} \right)\\x = 3\sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \({V_{\max }} = 54 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 .\)

Chọn: B