Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  và \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Bước 1: Gọi \(\left( \Delta  \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho  của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ;  \(\left( \Delta  \right)\) đi qua  \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k.\)

Bước 2: \(\left( \Delta  \right)\) có dạng \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Để \(\left( \Delta  \right)\) tiếp xúc với đồ thị \(y = f\left( x \right)\) thì hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = k\\f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\end{array} \right.\) có nghiệm

Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế, số nghiệm của hệ là số tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right)\) tìm được.

Lời giải chi tiết:

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right)\) với đồ thị (C) đi qua \(A\left( {1; - 6} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \Delta  \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - 1} \right) - 6\)

Để \(\left( \Delta  \right)\) tiếp xúc với (C) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{\rm{x}} + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 6\\k = 3{{\rm{x}}^2} - 3\end{array} \right.\) có nghiệm.

\( \Rightarrow {x^3} - 3{\rm{x}} + 1 = \left( {3{{\rm{x}}^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 6 \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\2{x^2} + x + 2 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có 1 tiếp tuyến đi qua \(A\left( {1; - 6} \right)\).

Chọn: C