Phương pháp giải:

- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = \infty \) thì \(x = {x_0}\) là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  + \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt { - x - 1} } \right)}^2}}}{{\sqrt { - x - 1} .\sqrt { - x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{ - \sqrt { - x - 1} }}{{\sqrt { - x + 1} }} = 0\) nên \(x =  - 1\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} = 1 \Rightarrow \) tiệm cận ngang \(y = 1\).

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{{ - \sqrt 1 }} =  - 1 \Rightarrow \) tiệm cận ngang \(y =  - 1\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) có tất cả 3 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Chọn D.