Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của hai phân số thứ hai và thứ ba trong biểu  thức \(P\) cho \(c.\)

Đặt  \(2a = x;2b = y;\dfrac{2}{c} = z\)  từ đó suy ra mối quan hệ của \(xyz\) và đưa \(P\) theo các biến \(x;y;z\)

Sử dụng thích hợp bất đẳng thức Cô-si cho từng mẫu số sau đó biến đổi để tìm GTLN của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(P = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{c}{{4bc + 3c + 2}} + \dfrac{c}{{2ac + 3c + 4}}\)\( = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{1}{{4b + 3 + \dfrac{2}{c}}} + \dfrac{1}{{2a + 3 + \dfrac{4}{c}}}\)

Đặt \(2a = x;\,\,2b = y;\,\,\dfrac{2}{c} = z \Rightarrow xyz = 2a.2b.\dfrac{2}{c} = \dfrac{{8ab}}{c} = 1\)  (vì \(c = 8ab\))

Khi đó ta có \(P = \dfrac{1}{{2x + y + 3}} + \dfrac{1}{{2y + z + 3}} + \dfrac{1}{{2z + x + 3}}\)

Lại có \(2x + y + 3 = x + x + y + 1 + 2\mathop  \ge \limits^{C\^o  - si} 2\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 2 = 2\left( {\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1} \right)\)

Tương tự với \(2y + z + 3 \le 2\left( {\sqrt {yz}  + \sqrt y  + 1} \right);\,2z + x + 3 \le 2\left( {\sqrt {xz}  + \sqrt z  + 1} \right)\) , do đó ta có

\(P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz}  + \sqrt y  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {xz}  + \sqrt z  + 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt y  + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt y }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + 1}}} \right)\)  (do \(xyz = 1\))

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt {xy}  + \sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1\). Do đó \(\max P = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = 1;n = 2 \Rightarrow 2{m^2} + n = 4.\)

Chọn B.