Phương pháp giải:

Sử dụng hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\)  nhận đường thẳng \(y = \dfrac{a}{c}\)  làm tiệm cận ngang và đường thẳng \(x =  - \dfrac{d}{c}\)  làm tiệm cận đứng.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} {{x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {x + 1}} = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {{x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {x + 1}} = - \infty \cr} \)

\( \Rightarrow \) Hàm số có 1 TCĐ \(x =  - 1\).

Chọn A.