Phương pháp giải:

+) Công thức tính nhanh khối tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,\;AC,\;AD\)  đôi một vuông góc với nhau là: \(V = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD.\)

+) Sử dụng tỉ số thể tích: Cho tứ diện \(SABC\) với \(M \in SA,\;N \in SB,\;P \in SC\) ta có: \(\dfrac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.a.2a.3a = {a^3}.\)

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2AM = MB\\AN = 2NC\\AP = PD\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3};\;\dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{2}{3};\;\dfrac{{AP}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}.\)

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích ta có:

\(\dfrac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AC}}.\dfrac{{AP}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \dfrac{1}{9}{V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}}}{9}.\)

Chọn  C.