Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0} \Rightarrow y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty  \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( {2; + \infty } \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {x - 2}  + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{{{x^3}}} - \dfrac{2}{{{x^4}}}}  + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {x - 2}  + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{{{x^3}}} - \dfrac{2}{{{x^4}}}}  + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow y = 0\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x - 2}  + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} =  + \infty  \Rightarrow x = 2\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.

Chọn B.