Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Thay tọa độ các điểm vào hàm số để có được hệ phương trình, giải để tìm a, b, c.

Lời giải chi tiết:

Parabol (P) : \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\) biết (P) đi qua \(A\left( {2;{\rm{ }}3} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1;{\rm{ }}2} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow y = {x^2} - 2x + 3\) 

Chọn C.