Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số khảo sát sự biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) sau đó xác định sự biến thiên của hàm số \(h\left( x \right)\) và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) + f'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right].\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\2f\left( x \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right..\\f\left( x \right) =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = a\;\;\left( {a < 0} \right)\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = {f^2}\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) + m > m\\g\left( 3 \right) = {f^2}\left( 3 \right) + f\left( 3 \right) + m = m\\g\left( a \right) = {f^2}\left( a \right) + f\left( a \right) + m = m - \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

 \( \Rightarrow h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right| = \left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right| = \left| {{{\left[ {f\left( x \right) + \frac{1}{2}} \right]}^2} + m - \frac{1}{4}} \right|\)  có số điểm cực trị ít nhất là 3.

Đồ thị hàm số\(g\left( x \right)\) nằm phía trên trục \(Ox\) (kể cả trường hợp tiếp xúc với \(Ox\))

\( \Rightarrow m \ge \frac{1}{4} \Rightarrow {m_0} = \frac{1}{4}.\)

Chọn  A.