Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)

Hai đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(ax - 2 \ne 0.\) Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 6 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}\) ; \(d:\;\;7x + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y =  - 7x + 4.\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng: \(d':\;\;y =  - 7x + {y_0}.\;\;\;\left( {{y_0} \ne 4} \right).\)

Ta có:\( \Rightarrow d':\;\;y =  - 7x + 3.\)

\(A\left( {1; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số và hệ số góc của \(d'\) là: \(f'\left( 1 \right) =  - 7\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = \dfrac{{3.1 + b}}{{a - 2}}\\\dfrac{{ - 6 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 3 =  - 4\left( {a - 2} \right)\\ - 6 - ab =  - 7{\left( {a - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a + 5\\ - 6 - a\left( { - 4a + 5} \right) =  - 7{a^2} + 28a - 28\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a + 5\\11{a^2} - 33a + 22 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a + 5\\\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right.\;\;\left( {tm\;\;ab \ne  - 2} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\left( {tm\;\;ab \ne  - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3b = 11\\a - 3b =  - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.