Phương pháp giải:

+) Chứng minh tứ giác ABMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BD, suy ra mặt cầu ngoại tiếp chóp S.BDM cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABMD.

+) Xác định giao điểm I của 2 trục của tứ giác ABMD là SAD. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABMD.

+) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(R = IA\), sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác vuông ADC có \(DH = \dfrac{{AD.CD}}{{\sqrt {A{D^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

\(HC = \dfrac{{C{D^2}}}{{AC}} = \dfrac{{C{D^2}}}{{\sqrt {A{D^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}HC = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = DH\)\( \Rightarrow \Delta DMH\) vuông cân tại H.

\( \Rightarrow \widehat {AMD} = {45^0} = \widehat {ABD} \Rightarrow \) Tứ giác ADMB là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \) Mặt cầu ngoại tiếp chóp S.BDM cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABMD.

Dễ thấy tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính BD, gọi O là trung điểm của BD, qua O kẻ đường thẳng \(d \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi G là trọng tâm tam giác đều SAD, qua G kẻ \(GI//OK\,\,\left( {I \in d} \right)\) (K là trung điểm của AD).

Ta có \(OK//AB \Rightarrow OK \bot AD \Rightarrow OK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow GI \bot \left( {SAD} \right)\).

Ta có: \(I \in d \Rightarrow IA = IB = IM = ID\)

          \(I \in IG \Rightarrow IS = IA = ID\)

\( \Rightarrow IA = IB = IM = ID = IS \Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABMD.

Ta có \(OK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2} = AK \Rightarrow OA = \sqrt {O{K^2} + A{K^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác SAD đều cạnh a \( \Rightarrow SK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GK = \dfrac{1}{3}SK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} = OI\).

Xét tam giác vuông IOA có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6} = R\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.BDM là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{7{a^2}}}{{12}} = \dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}\).

Chọn D.