Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị. Xác định các điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.

+) Tính diện tích tam giác ABC, sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC\).

+) Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\) trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\). Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2m + {m^4} \Rightarrow A\left( {0;2m + {m^4}} \right)\\x = \sqrt m  \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\\x =  - \sqrt m  \Rightarrow y = {m^4} - {m^2} + 2m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(d\left( {A;BC} \right) = \left| {{m^4} + 2m - {m^4} + {m^2} - 2m} \right| = {m^2}\) ; \(BC = 2\sqrt m \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}{m^2}.2\sqrt m  = {m^2}\sqrt m \).

Ta có : \(A{B^2} = m + {m^4} = A{C^2}\).

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Leftrightarrow {m^2}\sqrt m  = \dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right)2\sqrt m }}{4} \Leftrightarrow m + {m^4} = 2{m^2}\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {0;1;\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\end{array}\)

Khi đó tổng các phần tử của S là  \(0 + 1 + \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} = 0\).

Chọn C.