Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) suy ra các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+) Tính \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)\).

+) Kết luận \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5 \notin \left[ { - 2;1} \right]\\x =  - 1 \in \left[ { - 2;1} \right]\end{array} \right.\).

\(f\left( { - 2} \right) =  - \dfrac{5}{4};\,\,f\left( 1 \right) =  - 5;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M =  - 1\\m =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow T = M + 2m =  - 1 - 10 =  - 11\).

Chọn B.