Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 \ne 0\end{array} \right.\)

Ta thấy \({x^2} + \sqrt {x - 1}  > 0\;\;\forall x \ge 1.\)

\( \Rightarrow \) đồ thị hàm số có đúng một TCĐ \( \Leftrightarrow pt\;\;{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 = 0\;\;\left( * \right)\) có đúng một nghiệm \(x \ge 1.\)

TH1: Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm kép \(x \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} \ge 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4 = 0\\ - \dfrac{{m - 1}}{2} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m - 1 = 2\\m - 1 =  - 2\end{array} \right.\\m - 1 \le  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\end{array} \right.\\m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1.\)

TH2: Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < 1 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow a.f\left( 1 \right) > 0 \Leftrightarrow 1.\left( {1 + m - 1 + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\)

Kết hợp các TH và điều kiện bài cho \(m \ge  - 10\) ta có: \( - 10 \le m \le  - 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn B.