Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(x - m = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + m} \right)x + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Để đường thẳng thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)  tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

\( \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8 > 0\) (luôn đúng).

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) lần lượt là hoành độ của điểm A, B \( \Rightarrow \) \({x_A},\,\,{x_B}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*). Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2 + m\\{x_A}{x_B} = m - 1\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}A\left( {{x_A};\,\,{x_A} - m} \right);\,\,B\left( {{x_B};{x_B} - m} \right) \Rightarrow A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} = 2{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} = 9 \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) = 9 \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 9 \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

Chọn C.