Phương pháp giải:

+) Gọi chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt là x, 2x, h.

+) Tính diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của bể.

+) Tính chi phí cần để xây bể theo x.

+) Sử dụng BĐT Cauchy hoặc đạo hàm để tìm GTNN của hàm chi phí.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt là x, 2x, h (x > 0, h > 0).

Khi đó thể tích của bể là:

\(V = 2{x^2}h = 200 \Rightarrow h = \dfrac{{100}}{{{x^2}}}\).

Diện tích xung quanh và diện tích dáy bể là:

\(S = 2xh + 2.2x.h + 2x.x = 6xh + 2{x^2}\)

\( \Rightarrow S = 6x.\dfrac{{100}}{{{x^2}}} + 2{x^2} \)

\(= \dfrac{{600}}{x} + 2{x^2} = \dfrac{{300}}{x} + \dfrac{{300}}{x} + 2{x^2} \)

\(\ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{300}}{x}.\dfrac{{300}}{x}.2{x^2}}} = 3\sqrt[3]{{180000}} = 30\sqrt[3]{{180}}\).

\( \Rightarrow {S_{\min }} = 30\sqrt[3]{{180}}\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{300}}{x} = 2{x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}\).

Vậy chi phí thấp nhất để xây bể là:

\(30\sqrt[3]{{180}}.300\,\,000 \approx 50\,815\,945 \approx 51\) triệu đồng.

Cách khác:

Lập bảng biến thiên của hàm \(S = \dfrac{{600}}{x} + 2{x^2}\) trên khoảng $(0;+\infty)$ để tìm GTNN.