Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1\,\,\,\left( d \right)\).

Ta có \(A\left( {1;m} \right) \in d\) nên \(m = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 + 1\)

\( \Leftrightarrow m = 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 - 6x_0^2 + x_0^3 + 3x_0^2 + 1 \Leftrightarrow m =  - 2x_0^3 + 6{x_0} + 1\)  (*)

Để từ A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì phương trình (*) cần có 3 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 6x + 1\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục Oy.

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 6x + 1\) ta có : \(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow  - 5 < m < 3 \Rightarrow S = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\). Vậy S có 7 phần tử.

Chọn B.