Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0} \Rightarrow y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty  \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(x \ge  - \frac{1}{3};\,\,x \ne 1;\,\,x \ne 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\frac{3}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\frac{3}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0\end{array}\)

Do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 0\).

\(\begin{array}{l}y = \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{\left( {x + 1 - \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}}\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty\end{array}\), do đó đồ thị hàm số có TCĐ .

Xét phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x + 1 + \sqrt {3x + 1}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1}  =  - x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 1 \ge 0\\3x + 1 = {\left( { - x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1\\3x + 1 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset\end{array}\)

Vậy hàm số có 1 TCN \(y = 0\) và 1 TCĐ \(x = 2\).

Chọn A.