Câu hỏi
Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024\).
- A \(n = 10\)
- B \(n = 5\)
- C \(n = 9\)
- D \(n = 11\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng quát: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)
Nhận xét : biểu thức đã cho gồm tổng của các \(C_n^k\)với k : lẻ
Để triệt tiêu các k chẵn : ta thức hiện 2 khai triển nhị thức Newton sau đó trừ vế với vế.
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có các khai triển:
\(\left\{ \begin{array}{l}{2^{2n + 1}} = {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\0 = {\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array} \right.\)
Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:
\(2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right) = {2^{2n + 1}} \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}\)
Do đó \({2^{2n}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n = 5\).
Chọn B