Câu hỏi
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A, \(AB = a\) và \(\widehat {ACB} = 30^\circ \). Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(BC\) bằng
- A \(\dfrac{{{a^3}\pi }}{6}\).
- B \(\dfrac{{3{a^3}\pi }}{8}\).
- C \(\dfrac{{3{a^3}\pi }}{2}\).
- D \(\dfrac{{{a^3}\pi }}{2}\).
Phương pháp giải:
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Lời giải chi tiết:
Dựng \(AH \bot BC,\left( {H \in BC} \right)\). Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(BC\)ta được 2 khối nón có chung đáy là hình tròn tâm H bán kính AH và chiều cao tương ứng là CH, BH.
Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {ACB} = 30^\circ \Rightarrow BC = \dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = 2a,\,\,AC = AB.\cot 30^\circ = a\sqrt 3 \)
Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{a.\sqrt 3 a}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
\(V = \dfrac{1}{3}\pi .A{H^2}.CH + \dfrac{1}{3}\pi .A{H^2}.BH = \dfrac{1}{3}\pi .A{H^2}.BC = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)^2}.2a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Chọn: D
Câu hỏi trước
