Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó,

\(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Lời giải chi tiết:

Trong (SCD), gọi \(P = MN \cap SD\) ; trong (ABCD), gọi \(Q = MB \cap AD\)

\( \Rightarrow \) Thiết diện của khối chóp cắt bởi (MNB) là tứ giác BNPQ.

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OA = \dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

S.ABCD là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {SA;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SA;AO}} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)

\(\Delta \)SAO vuông tại O \( \Rightarrow SO = OA.\tan \widehat {SAO} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\tan 60^\circ  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(\Delta \)SMC có: MN, SD là trung tuyến, \(MN \cap SD = P \Rightarrow P\) là trọng tâm \(\Delta \)SMC \( \Rightarrow \dfrac{{MP}}{{MN}} = \dfrac{2}{3}\)

Do \(\Delta MDQ = \Delta BAQ\,(g.c.g) \Rightarrow MQ = QB\)

Ta có:

\(\dfrac{{{V_{M.PDQ}}}}{{{V_{M.NCB}}}} = \dfrac{{MD}}{{MC}}.\dfrac{{MP}}{{MN}}.\dfrac{{MQ}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{M.PDQ}} = \dfrac{1}{6}{V_{M.NCB}} \Rightarrow {V_{CDQBNP}} = \dfrac{5}{6}{V_{M.NCB}}\)

\( \Leftrightarrow {V_{{H_1}}} = \dfrac{5}{6}{V_{M.NCB}}\)

Ta lại có:

\({V_{M.NCB}} = \dfrac{1}{3}.{d_{\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.{S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\left( {\dfrac{1}{2}.MC.BC} \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.SO.\left( {DC.BC} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow {V_{{H_1}}} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

Chọn: B