Phương pháp giải:

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^{2000}}\) với \(x = 1\)  (1).

Xét \(\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{2000}}} \right]'\) với \(x = 1\)    (2).

Cộng theo vế (1) và (2) suy ra tổng S.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}S = C_{2000}^0 + 2C_{2000}^1 + .... + 2001C_{2000}^{2000}\\S = \left( {C_{2000}^0 + C_{2000}^1 + .... + C_{2000}^{2000}} \right) + \left( {C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2 + .... + 2000C_{2000}^{2000}} \right)\end{array}\)

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^{2000}} = C_{2000}^0 + C_{2000}^1x + C_{2000}^2{x^2} + .... + C_{2000}^{2000}{x^{2000}}\)

Với \(x = 1\) ta có \({2^{2000}} = {\left( {1 + x} \right)^{2000}} = C_{2000}^0 + C_{2000}^1 + C_{2000}^2 + ... + C_{2000}^{2000}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{2000}}} \right]' = \left( {C_{2000}^0 + C_{2000}^1x + C_{2000}^2{x^2} + .... + C_{2000}^{2000}{x^{2000}}} \right)'\\ \Rightarrow 2000{\left( {1 + x} \right)^{1999}} = C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2x + .... + 2000C_{2000}^{2000}{x^{1999}}\end{array}\)

Với \(x = 1 \Rightarrow {2000.2^{1999}} = C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2 + 3C_{2000}^3 + .... + 2000C_{2000}^{2000}\)

\( \Rightarrow S = {2^{2000}} + {2000.2^{1999}} = {2^{1999}}\left( {2 + 2000} \right) = {2^{1999}}.2002 = {2^{2000}}.1001\)

Chọn D.