Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = a\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = 2 \Rightarrow y = 2\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = \infty  \Rightarrow x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn A.