Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!.k!}}\)

Biến đổi hệ phương trình theo công thức của tổ hợp.

Rút gọn biểu thức: đưa về hệ đơn giản gồm x, y.

Giải hệ tìm x, y.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:  \(x,y \in N;\,x \ge y \ge 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_{x + 1}^{y + 1} = C_{x + 1}^y\\3C_{x + 1}^{y + 1} = 5C_{x + 1}^{y - 1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{(x + 1)!}}{{(y + 1)!(x - y)!}} = \frac{{(x + 1)!}}{{y!(x - y + 1)!}}\\3\frac{{(x + 1)!}}{{(y + 1)!(x - y)!}} = 5\frac{{(x + 1)!}}{{(y - 1)!(x - y + 2)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{y + 1}} = \frac{1}{{x - y + 1}}\\\frac{3}{{y(y + 1)}} = \frac{5}{{(x - y + 1)(x - y + 2)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = y + 1\\3\left( {x - y + 1} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 5y\left( {y + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\3(y + 1)(y + 2) = 5y(y + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\3y + 6 = 5y\;\;\;\left( {do\;\;y \ge 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\;\;\left( {tm} \right)\\y = 3\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A