Phương pháp giải:

Áp dụng công thức : \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!.k!}}\)

Thay vào biểu thức rút gọn sau đó tìm n.

Thay n vào biểu thức để tính M.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(n \in N,\;\;n \ge 3.\)

Ta có: \(C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 2\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!n!}} + 2\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{2!\left( {n + 1} \right)!}} + \frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 2} \right)!}} = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{2\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)n!}}{{2n!}} + \frac{{2\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n + 1} \right)!}} + \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)!}}{{2\left( {n + 2} \right)!}} = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) + \left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right) + \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{2} = 149\\ \Leftrightarrow {n^2} + n + 2{n^2} + 6n + 4 + 2{n^2} + 10n + 12 + {n^2} + 7n + 12 - 298 = 0\\ \Leftrightarrow 6{n^2} + 24n - 270 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\;\;\left( {tm} \right)\\n =  - 9\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Do đó: \(M = \frac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = \frac{3}{4}\).

Chọn D