Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\\{P_n} = n!\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức để rút gọn .

Giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(n \ge 1,\;\;n \in N.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{P_{n - 1}}.A_{n + 4}^4 < 15{P_{n + 2}} \Leftrightarrow (n - 1)!\frac{{(n + 4)!}}{{n!}} < 15(n + 2)!\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!.\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)!}}{{n\left( {n - 1} \right)!}} < 15\left( {n + 2} \right)!\\ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 3)}}{n} < 15 \Leftrightarrow {n^2} + 7n + 12 < 15n\\ \Leftrightarrow {n^2} - 8n + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 2 < n < 6 \Rightarrow n \in \left\{ {3;\;4;\;5} \right\}.\end{array}\)

Chọn A