Phương pháp giải:

Áp dụng công thức : \(\left\{ \begin{array}{l}C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!.k!}}\\A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\end{array} \right.\)

Rút gọn biểu thức từ đó tìm n.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(n \in N,\;\;n \ge 2.\)

\(\begin{array}{l}3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 52\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {n + 1} \right).n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{6\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{3n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 52\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 52\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 3n = 52\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6n = 104\\ \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 104 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 13\;\left( {tm} \right)\\n =  - 8\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 13\) gần với giá trị 12 nhất.

Chọn B