Phương pháp giải:

Lấy y chia y’ và lấy phần dư.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\,\, \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x - 9\)

\(\, \Rightarrow y = y'.\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - 8x - 2\)

Giả sử \({x_1},\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ của hai điểm cực trị A và B \( \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right) = 0\)

Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\,{y_1} = y'\left( {{x_1}} \right).\left( {\dfrac{1}{3}{x_1} - \dfrac{1}{3}} \right) - 8{x_1} - 2 =  - 8{x_1} - 2\\\,{y_2} = y'\left( {{x_2}} \right).\left( {\dfrac{1}{3}{x_2} - \dfrac{1}{3}} \right) - 8{x_2} - 2 =  - 8{x_2} - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng AB: \(y =  - 8x - 2\)

Thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình đường thẳng AB, ta có:  \(N(1; - 10)\) nằm trên đường thẳng AB.

Chọn: C