Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R{\rm{\backslash }}\left\{ {1; - 2} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} }}{{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^4}}}} }}{{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị có 1 TCN là \(y = 0\).

Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{15{x^2} - 10x - 5}}{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{5\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{5\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}} = \dfrac{{20}}{{18}} = \dfrac{{10}}{9}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{15{x^2} - 10x - 5}}{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{5\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{5\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1 + \sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)}} = \dfrac{{20}}{{18}} = \dfrac{{10}}{9}\end{array}\)

Và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} =  + \infty ;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{4x - 1 - \sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}{{{x^2} + x - 2}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \) Đồ thị có 1 TCĐ là \(x =  - 2\).

Chọn: D