Phương pháp giải:

1. Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\)

2. \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\) thì tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số của \(\left( d \right)\)

3. \(y = ax + b\) song song với \(y = a'x + b'\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

\({m^2} - 2m + 3 = {m^2} - 2m + 1 + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\) với mọi m

Vậy với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó

2. Tìm m để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\).

Để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right) \Leftrightarrow 8 = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right).2 - 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 6 - 4 - 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m - 6 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 6m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 1} \right) - 6\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\2m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m =  - 1\) hoặc \(m = 3\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\)

3. Tìm m để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 3 = 3\\ - 4 \ne m - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 2} \right) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Vậy với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Chọn D.