Phương pháp giải:

+) Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

+) Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow SH \bot BC\) (do tam giác SBC đều).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right)\\SH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Khi đó, \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\)

Ta có:  Tam giác SBC đều cạnh a \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABC vuông cân tại A \( \Rightarrow AB = AC = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\,\, \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn: C