Phương pháp giải:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)của một cạnh bên nào đó

- Xác định \(I = \left( \alpha  \right) \cap d\), I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của CD, AC, AD.

\(\Delta BCD\) vuông tại B, M là trung điểm của CD \( \Rightarrow \) M là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\)

\(IM\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\, \Rightarrow IM//AC\)

Lại có, \(AC \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow IM \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow IC = IB = ID\)(1)

Mặt khác, \(\Delta ACD\) vuông tại C, I là trung điểm của AD \( \Rightarrow IA = IC = ID\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(IA = IC = IB = ID \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD, bán kính

\(R = \frac{{AD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + C{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + C{B^2} + B{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 a}}{2}\).

Chọn: D