Câu hỏi
Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C,\,\,AC = a\sqrt 2 \). Biết tam giác \(AB{C_1}\) có chu vi bằng \(5a\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\).
- A \(V = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).
- B \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
- C \(V = {a^3}\).
- D \(V = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).
Phương pháp giải:
Thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).
Lời giải chi tiết:
\(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C,\,\,AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = AC = a\sqrt 2 \\AB = AC\sqrt 2 = 2a\end{array} \right.\)
Đặt \(AA' = BB' = CC' = h\).
Tam giác \(AC{C_1}\) vuông tại C \( \Rightarrow A{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} \)
Tam giác \(BC{C_1}\) vuông tại C \( \Rightarrow B{C_1} = \sqrt {2{a^2} + {h^2}} \)
Chu vi tam giác\(AB{C_1}\): \(\sqrt {2{a^2} + {h^2}} + \sqrt {2{a^2} + {h^2}} + 2a = 5a\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2{a^2} + {h^2}} = 3a \Leftrightarrow 2{a^2} + {h^2} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Leftrightarrow {h^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow h = \dfrac{a}{2}\)
Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) là: \(V = {S_{ABC}}.h = \dfrac{1}{2}.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Chọn: A
Câu hỏi trước
